1) Da come poni le domande, credo che sia il caso di approfondire un pochino i concetti di networking, perlomeno a livello casalingo.
Quando arriva la connessione (di qualsiasi natura essa sia) il router al quale arriva connette un indirizzo in genere pubblico, con una o piu' reti private. Quindi la scatola che ti danno in comodato col servizio fa effettivamente da router, in quanto connette la tua rete privata con il mondo esterno. Questo avviene, per ragioni di sicurezza solo in uscita e non in ingresso, a meno di non configurare in maniera appropriata il router per accettare alcune connessioni verso una macchina interna (vedi dopo).
La caratterizzazione di rete privata e' questa (preso da Wikipedia):
10.0.0.0 con netmask 255.0.0.0 oppure
172.16.0.0 con netmask 255.255.0.0 oppure
192.168.0.0 con netmask 255.255.255.0
Non vado oltre con la spiegazione, e' piu' che sufficiente una classe 192.160.x.x che da a disposizione 256 (in realta' un paio in meno) indirizzi per connettere apparecchi, computer, telefoni etc... della propria rete.
In genere i router di ultima generazione che ti danno in comodato hanno almeno 4 porte se non 8, in caso tu abbia bisogno di piu' connessioni cablate, oltre alla WiFi, puoi attaccarci switch o altri router.
2) Se spegni il router, la configurazione resta la stessa, quindi nessuno perderebbe l'indirzzo (ma perderesti la funzionalita' di rete per tutti gli apparecchi con esso collegati). Stara' a te poi decidere se gli apparecchi che si collegano debbano avere un IP fisso oppure no. Come sempre dipende dall'uso che ne fai. In generale un server o un NAS fa comodo che abbia il suo IP fisso, mentre telefoni e tablet no.
Sul router potra' essere configurata una serie di regole che mandano verso un server interno certe richieste di connessione da fuori. Se hai l'IP fisso sara' piu' semplice, se invece ti danno un IP variabile dovrai acquistare un servizio di tipo "myDNS o DYNDNS" per consentire ai DNS di ricevere la comunicazione del cambio indirizzo e far si che questa sia trasparente rispetto al nome assegnato.
3) Non lo so, ma ormai una funzionalita' abbastanza 'di base' quindi probabilmente si'.
4) Vedi il secondo paragrafo della risposta al 2. E' probabile che tu abbia un IP pubblico, ma dinamico.
Detto fra noi, proprio perche' vuoi cimentarti a esporre qualche servizio dall'interno verso internet, un po' di studio sulle reti e sul loro funzionamento diventa molto utile a comprendere quello che fai e a evitare di esporre risorse vulnerabili all'esterno.